В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.
Регистрация участников открыта. Получите свой билет на Марс по этой ссылке .
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.
Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.
Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".
Решение удобно разбить на два пункта:
1) Сначала проверяем, есть ли вертикальные асимптоты. Знаменатель обращается в ноль при, и сразу понятно, что в данной точке функция терпит бесконечный разрыв, а прямая, заданная уравнением, является вертикальной асимптотой графика функции. Но, прежде чем оформить такой вывод, необходимо найти односторонние пределы:
Напоминаю технику вычислений, на которой я подобно останавливался в статье Непрерывность функции. Точки разрыва. В выражение под знаком предела вместо «икса» подставляем. В числителе ничего интересного:
А вот в знаменателе получается бесконечно малое отрицательное число:
Оно и определяет судьбу предела.
Левосторонний предел бесконечный, и, в принципе уже можно вынести вердикт о наличии вертикальной асимптоты. Но односторонние пределы нужны не только для этого - они ПОМОГАЮТ ПОНЯТЬ, КАК расположен график функции и построить его КОРРЕКТНО. Поэтому обязательно вычислим и правосторонний предел:
Вывод: односторонние пределы бесконечны, значит, прямая является вертикальной асимптотой графика функции при.
Первый предел конечен, значит, необходимо «продолжить разговор» и найти второй предел:
Второй предел тоже конечен.
Таким образом, наша асимптота:
Вывод: прямая, заданная уравнением является горизонтальной асимптотой графика функции при.
Для нахождения горизонтальной асимптоты можно пользоваться упрощенной формулой:
Если существует конечный предел, то прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при.
Нетрудно заметить, что числитель и знаменатель функции одного порядка роста, а значит, искомый предел будет конечным:
По условию не нужно выполнять чертёж, но если в самом разгаре исследование функции, то на черновике сразу же делаем набросок:
Исходя из трёх найденных пределов, попытайтесь самостоятельно прикинуть, как может располагаться график функции. Совсем трудно? Найдите 5-6-7-8 точек и отметьте их на чертеже. Впрочем, график данной функции строится с помощью преобразований графика элементарной функции, и читатели, внимательно рассмотревшие Пример 21 указанной статьи легко догадаются, что это за кривая.
Это пример для самостоятельного решения. Процесс, напоминаю, удобно разбить на два пункта - вертикальные асимптоты и наклонные асимптоты. В образце решения горизонтальная асимптота найдёна по упрощенной схеме.
На практике чаще всего встречаются дробно-рациональные функции, и после тренировки на гиперболах усложним задание:
Найти асимптоты графика функции
Решение: Раз, два и готово:
1) Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва, поэтому нужно проверить, обращается ли знаменатель в ноль. Решим квадратное уравнение:
Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два действительных корня, и работы значительно прибавляется
В целях дальнейшего нахождения односторонних пределов квадратный трёхчлен удобно разложить на множители:
(для компактной записи «минус» внесли в первую скобку). Для подстраховки выполним проверку, мысленно либо на черновике раскрыв скобки.
Перепишем функцию в виде
Найдём односторонние пределы в точке:
асимптота график функция предел
И в точке:
Таким образом, прямые являются вертикальными асимптотами графика рассматриваемой функции.
2) Если посмотреть на функцию, то совершенно очевидно, что предел будет конечным и у нас горизонтальная асимптота. Покажем её наличие коротким способом:
Таким образом, прямая (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика данной функции.
Найденные пределы и асимптоты дают немало информации о графике функции. Постарайтесь мысленно представить чертёж с учётом следующих фактов:
Схематично изобразите вашу версию графика на черновике.
Конечно, найденные пределы однозначно не определяют вид графика, и возможно, вы допустите ошибку, но само упражнение окажет неоценимую помощь в ходе полного исследования функции. Правильная картинка - в конце урока.
Найти асимптоты графика функции
Найти асимптоты графика функции
Это задания для самостоятельного решения. Оба графика снова обладают горизонтальными асимптотами, которые немедленно детектируются по следующим признакам: в Примере 4порядок роста знаменателя больше, чем порядок роста числителя, а в Примере 5 числитель и знаменатель одного порядка роста. В образце решения первая функция исследована на наличие наклонных асимптот полным путём, а вторая - через предел.
Горизонтальные асимптоты, по моему субъективному впечатлению, встречаются заметно чаще, чем те, которые «по-настоящему наклонены». Долгожданный общий случай:
Найти асимптоты графика функции
Решение: классика жанра:
- 1) Поскольку знаменатель положителен, то функция непрерывна на всей числовой прямой, и вертикальные асимптоты отсутствуют. …Хорошо ли это? Не то слово - отлично! Пункт №1 закрыт.
- 2) Проверим наличие наклонных асимптот:
Второй предел тоже конечен, следовательно, у графика рассматриваемой функции существует наклонная асимптота:
Таким образом, при график функции бесконечно близко приближается к прямой.
Заметьте, что он пересекает свою наклонную асимптоту в начале координат, и такие точки пересечения вполне допустимы - важно, чтобы «всё было нормально» на бесконечности (собственно, речь об асимптотах и заходит именно там).
Найти асимптоты графика функции
Решение: комментировать особо нечего, поэтому оформлю примерный образец чистового решения:
1) Вертикальные асимптоты. Исследуем точку.
Прямая является вертикальной асимптотой для графика при.
2) Наклонные асимптоты:
Прямая является наклонной асимптотой для графика при.
Найдённые односторонние пределы и асимптоты с высокой достоверностью позволяют предположить, как выглядит график данной функции.
Найти асимптоты графика функции
Это пример для самостоятельного решения, для удобства вычисления некоторых пределов можно почленно разделить числитель на знаменатель. И снова, анализируя полученные результаты, постарайтесь начертить график данной функции.
Очевидно, что обладателями «настоящих» наклонных асимптот являются графики тех дробно-рациональных функций, у которых старшая степень числителя на единицу больше старшей степени знаменателя. Если больше - наклонной асимптоты уже не будет (например,).
Но в жизни происходят и другие чудеса.
Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика функции облегчается.
Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её. Например, стремиться соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное. Так и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное возможное расстояние, но так и не касается его.
Определение 1. Асимптотами называются такие прямые , к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.
Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные асимптотыПервое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны оси Oy .
Определение . Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции , если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.
Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f (x ) , если выполняется хотя бы одно из условий:
При этом функция f (x ) может быть вообще не определена соответственно при x ≥ a и x ≤ a .
Замечание:
Пример 1. График функции y =lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy ) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:
(рис. сверху).
самостоятельно, а затем посмотреть решенияПример 2. Найти асимптоты графика функции .
Пример 3. Найти асимптоты графика функции
Горизонтальные асимптотыПервое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны оси Ox .
Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b ), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f (x ) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).
Пример 5. График функции
при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox ), так как предел функции при стремлении "икса" к минус бесконечности равен нулю:
Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении "икса" к плюс бесконечности равен бесконечности:
Наклонные асимптотыВертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число - точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше - угловой коэффициент k , который показывает угол наклона прямой, и свободный член b , который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё - уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом . Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.
Теорема. Для того, чтобы кривая y = f (x ) имела асимптоту y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:
(1)
(2)
Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.
В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.
При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.
При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.
Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b , не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).
Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0 .
Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.
Пример 6. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0 , т.е.
Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:
Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.
Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:
Выясним наличие наклонной асимптоты:
Получили конечные пределы k = 2 и b = 0 . Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).
Пример 7. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1 . Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:
Заключение: x = −1 - точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.
Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция - дробно-рациональная, пределы при и при будут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой - наклонной асимптоты:
Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = −3x + 5 .
На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты - чёрным.
Пример 8. Найти асимптоты графика функции
Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:
.
Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при и не имеет асиптоты при .
Пример 9. Найти асимптоты графика функции
Решение. Сначала ищем вертикальные асимптоты. Для этого найдём область определения
функции. Функция определена, когда выполняется неравенство и
при этом . Знак переменной
x
совпадает со знаком .
Поэтому рассмотрим эквивалентное неравенство .
Из этого получаем область определения функции: 
.
Вертикальная асимптота может быть только на границе области определения функции. Но
x
= 0
не может быть вертикальной асимптотой, так как
функция определена при x
= 0
.
Рассмотрим правосторонний предел при (левосторонний предел не существует):
.
Точка x = 2 - точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = 2 - вертикальная асимптота графика данной функции.
Ищем наклонные асимптоты:
Итак, y = x + 1 - наклонная асимптота графика данной функции при . Ищем наклонную асимптоту при :
Итак, y = −x − 1 - наклонная асимптота при .
Пример 10. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция имеет область определения 
.
Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения,
найдём односторонние пределы функции при .
Если расстояние d от точки кривой у = f (х), имеющей бесконечную ветвь, до некоторой определенной прямой по мере удаления точки по этой кривой в бесконечность стремится к нулю, то прямая называется асимптотой кривой.
Различают асимптоты: 1) горизонтальные, 2) вертикальные и 3) наклонные.
1. Кривая у = f (х) имеет горизонтальную асимптоту у =b только в том случае, когда существует конечный предел функции f (х) при , и этот предел равен b , т. е. если
2. Кривая у = f (х) имеет вертикальную асимптоту х = а, если при . Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения аргумента, вблизи которых f (х) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Если такими значениями аргумента являются а1, а2, …, то уравнения вертикальных асимптот будут
х = а1, х =а2…
3. Для определения наклонной асимптоты у = kx + b кривой у = f (х) надо найти числа k и b из формул
(следует отдельно рассматривать случаи ). Наклонные асимптоты у кривой у = f (х) существуют в том и только в том случае, когда эти пределы имеют конечное значение. При определении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.
Пример.
Найти асимптоты кривой
Решение. Горизонтальных асимптот нет. Вертикальную асимптоту находим из условия
2х
+ 3 = 0 => х = - 3/2, при этом у
,
когда
,
у
,
когда
.
Определим наклонные асимптоты, уравнение
которых имеет вид: у = kx + b
Так
как k и b имеют конечные значения и равны
между собой при х
и при х
,
то имеется единственная наклонная
асимптота, уравнение которой
Под полным исследованием функции обычно понимается решение таких вопросов:
Определение области существования функции.
Выявление вопроса о четности и нечетности функции.
Определение точек разрыва функции.
Определение асимптот графика функции.
Определение интервалов возрастания и убывания функции.
Определение экстремума функции.
Определение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции.
Определение точек перегиба.
Нахождение пересечения с осями координат.
Построение графика функции.
Пример.
Исследуем функцию
D
(y) = (
).
Функция непрерывна на всей области
определения. Точек разрыва нет.
Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
Точек разрыва нет.
Вертикальных
асимптот нет;
,
наклонных асимптот нет.
5,
6.
.
Критические точки х = -2, х = 0.
|
( |
( |
||||
|
Знак
|
|
| |||
|
Поведение функции |
Возрастает |
3 |
Возрастает |
)
)
=
0
7,
8.
,
при
х = 1,
не существует при х = 0.
|
( |
( |
||||
|
Знак
|
|
| |||
|
Поведение функции |
Выпукла верх |
Не является точкой перегиба |
Выпукла верх |
Точка перегиба |
Выпукла вниз |
)
)
=
=
09.
х
=0 и х = -5.
Задание 1
Вычислить определитель матрицы А второго порядка
Вычислить определитель матрицы В третьего порядка
Вычислить определитель матрицы В, разложив его по какой-либо строке и какому либо столбцу
Вычислить определитель матрицы В, пользуясь свойствами определителей. Свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению одного определителя второго порядка
|
Вариант 1 | ||||||||||||||||||
|
Вариант 2 | ||||||||||||||||||
|
Вариант 3 | ||||||||||||||||||
|
Вариант 4 | ||||||||||||||||||
|
Вариант 5 | ||||||||||||||||||
|
Вариант 6 | ||||||||||||||||||
|
Вариант 7 | ||||||||||||||||||
|
Вариант 8 | |||||||||||
|
Вариант 9 | |||||||||||
|
Вариант 10 | |||||||||||
Задание 2
1. Решить методом Крамера систему уравнений Ах = а
Решить методом Крамера систему уравнений В x = b
Решить методом Гаусса систему уравнений В x = b
Задание 3.
Ах = а
Решить матричным методом систему уравнений В x = b
Задание 4.
Вычислить ранг матрицы.
1.
,
2.
;
3.
4.
5.
6.
7.
8
9.
10.
Задание 5
Даны две вершины треугольника Δ АВС: А (х 1 ,у 1 ), В (х 2 ,у 2 ) и точка D (x 3 , y 3 )пересечения высот:
а) составить уравнение высот, медиан, биссектрис треугольника Δ АВС .
б) найти уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных сторонам.
в) определить длины высот треугольника и расстояние от точки М (х 4 , у 4 ) до сторон треугольника.
|
x 1 |
y 1 |
x 2 |
y 2 |
x 3 |
y 3 |
x 4 |
y 4 |
|
Задание 6.
Даны координаты вершин пирамиды АВС D : А (х 1 ,у 1 , z 1 ), В (х 2 ,у 2 , z 3 ) ,C (x 2 , y 2 , z 2 ) ,D (х 4 , у 4 , z 3 )
1) длину ребра АВ; .
2) угол между ребрами АВ и А D ;
3) угол меду ребром AD и гранью ABC ;
4) площадь грани ABC ;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой AB ;
7) уравнение плоскости ABC ;
8) уравнение высоты, опущенной из вершиныD на грань ABC .
|
n |
x 1 |
y 1 |
z 1 |
x 2 |
y 2 |
z 2 |
x 3 |
y 3 |
z 3 |
x 4 |
y 4 |
z 4 |
Задание 7.
Задание 8. Найти область определения функции
5.
7.
8.
9.
10.
Задание 9.Построить график функции
1.
2.
3.
4
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задание 10 .Найти пределы функции
1.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
2.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
3.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
4.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
5.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
6.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
7.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
8.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
9.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
10.а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
Задание 11. Найти производную
1.
,
б),
в)
,
г)
,
д)
,
е)
2.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,е)
3.
а),
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
e)
4.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
e)
5.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
6.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
7.
а)
,
б),
в)
,
г)
,
д)
,
е)
8.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
9.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
10.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
Задание 12. Показать, что функция удовлетворяет равенству
Задание 13. Найти вторую производную функции, заданной параметрически.
1 .
6.
2.
7
3.
8
4.
9.
5.
10.
Задание 14. Найти пределы, пользуясь правилом Лопиталя
Задание 15. Найти экстремумы заданных функций.
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Задание 16. Найти наибольшее и наименьшее значение на указанных отрезках и на указанных интервалах.
Задание 17. Провести полное исследование данных функций и начертить их графики.
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Литература:
Баврин И.И. Курс высшей математики.-М.:Просвящение,1992.-400 с.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М, 1967г,608 с
Общий курс высшей математики для экономистов, под ред В.И.Ермакова-М. «Инфра-М».1999 г.-655 с.
Теуш В.Л. Курс высшей математики. - М.: Советская наука, 1958г, 270 с.
Шипачев В.С. Высшая математика: Учебное пособие М. Высшая школа,1990.-479с.
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко и др.; М: ЮНИТИ, 2002. – 461 с.
Валєєв К.Г, Джалладова І.А Вища математика: Навч. Посібник.
Одним из важных этапов построения графиков функций является поиск асимптот. С асимптотами мы встречались неоднократно: при построении графиков функций , y=tgx , y=сtgx . Мы определяли их как линии, к которым «стремится» график функции, но никогда их не пересечет. Пришло время дать точное определение асимптот.
Асимптоты бывают трех видов: вертикальная, горизонтальная и наклонная. На чертеже асимптоты принято обозначать пунктирными линиями.
Рассмотрим следующий искусственно составленный график функции (рис. 16.1), на примере которого хорошо видны все виды асимптот:
Дадим определение каждому виду асимптот:
1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой функции , если .
2. Прямая у=с называется горизонтальной асимптотой функции , если .
3. Прямая у=kx+b называется наклонной асимптотой функции , если .
Геометрически определение наклонной асимптоты означает, что при →∞ график функции сколь угодно близко подходит к прямой у=kx+b , т.е. они практически совпадают. Разность практически одинаковых выражений стремится к нулю.
Отметим, что горизонтальные и наклонные асимптоты рассматриваются только при условии →∞. Иногда их различают на горизонтальные и наклонные асимптоты при →+∞ и →-∞.
Для поиска асимптот можно использовать следующий алгоритм:
Вертикальных асимптот может быть одна, несколько или не быть совсем.
- Если с – число, то у=с – горизонтальная асимптота;
- Если с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.
Если функция представляет собой отношение двух многочленов, то при наличии у функции горизонтальных асимптот наклонные асимптоты искать не будем – их нет.
Рассмотрим примеры нахождения асимптот функции:
Пример 16.1. Найдите асимптоты кривой .
Решение х -1≠0; х ≠1.
Проверим, является ли прямая х= 1 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х= 1: .
х= 1 - вертикальная асимптота.
с = .
с = = . Т.к. с =2 (число), то у=2 – горизонтальная асимптота.
Так как функция представляет собой отношение многочленов, то при наличии горизонтальных асимптот утверждаем, что наклонных асимптот нет.
х= 1 и горизонтальную асимптоту у=2. Для наглядности график данной функции представлен на рис. 16.2.
Пример 16.2 . Найдите асимптоты кривой .
Решение . 1. Найдем область определения функции: х -2≠0; х ≠2.
Проверим, является ли прямая х= 2 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х= 2: .
Получили, что , следовательно, х= 2 - вертикальная асимптота.
2. Для поиска горизонтальных асимптот находим : с = .
Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: с = = . Т.к. с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.
3. Для поиска наклонных асимптот находим :
Получили неопределенность вида , воспользуемся правилом Лопиталя: = =1.Итак, 1. Найдем b по формуле: .
b= = =
Получили, что b= 2. Тогда у=kx+b – наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид: у=x+2.
|
Контрольные вопросы:
Лекция 17. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА
В данной лекции мы подведем итог всему ранее изученному материалу. Конечная цель нашего долгого пути – уметь исследовать любую аналитически заданную функцию и строить ее график. Важными звеньями нашего исследования будут исследование функции на экстремумы, определение интервалов монотонности, выпуклости и вогнутости графика, поиск точек перегиба, асимптот графика функции.
С учетом всех вышеперечисленных аспектов приведем схему исследования функции и построения графика .
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность-нечетность:
· если , то функция четная (график четной функции симметричен относительно оси Оу );
· если , то функция нечетная (график нечетной функции симметричен относительно начала координат);
· в противном случае функция ни четная, ни нечетная.
3. Исследовать функцию на периодичность (среди изучаемых нами функций периодическими могут быть только тригонометрические функции).
4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат:
· Ох : у =0 (решаем уравнение лишь в том случае, если можем использовать известные нам методы);
· Оу : х =0.
5. Найти первую производную функции и критические точки первого рода.
6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.
7. Найти вторую производную функции и критические точки второго рода.
8. Найти интервалы выпуклости-вогнутости графика функции и точки перегиба.
9. Найти асимптоты графика функции.
10. Построить график функции. При построении следует учесть случаи возможного расположения графика вблизи асимптот :
11. При необходимости выбрать контрольные точки для более точного построения.
Рассмотрим схему исследования функции и построения ее графика на конкретных примерах:
Пример 17.1 . Постройте график функции .
Решение . 1. Данная функция определена на всей числовой прямой за исключением х =3, т.к. в этой точке знаменатель обращается в ноль.
2. Для определения четности и нечетности функции найдем :
Видим, что и , следовательно, функция ни четная, ни нечетная.
3. Функция непериодическая.
4. Найдем точки пересечения с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью Ох примем у =0. Получим уравнение: . Итак, точка (0; 0) – точка пересечения с осями координат.
5. Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби: = = = = .
Для нахождения критических точек найдем точки, в которых производная функции равна 0 или не существует.
Если =0, следовательно, . Произведение тогда равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0: или .
х -3) 2 равен 0, т.е. не существует при х =3.
Итак, функция имеет три критические точки первого рода: ; ; .
6. На числовой оси отметим критические точки первого рода, причем точку отмечаем выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена.
Расставляем знаки производной = на каждом промежутке:
|
|
На промежутках, где , исходная функция возрастает (при (-∞;0] ), где - убывает (при ).
Точка х =0 является точкой максимума функции. Для нахождения максимума функции найдем значение функции в точке 0: .
Точка х =6 является точкой минимума функции. Для нахождения минимума функции найдем значение функции в точке 6: .
Результаты исследований можно занести в таблицу. Число строк в таблице фиксировано и равно четырем, а число столбцов зависит от исследуемой функции. В ячейки первой строки последовательно заносят интервалы, на которые критические точки разбивают область определения функции, включая сами критические точки. Во избежание ошибок при построении точки, не принадлежащие области определения, можно в таблицу не включать.
Во второй строке таблицы расставляются знаки производной на каждом из рассматриваемых промежутков и значение производной в критических точках. В соответствии со знаками производной функции в третьей строке отмечаются промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.
Последняя строка служит для обозначения максимума и минимума функции.
| х | (-∞;0) | (0;3) | (3;6) | (6;+ ∞) | |||
| + | - | - | + | ||||
| f(x) | |||||||
| Выводы | max | min |
7. Найдем вторую производную функции как производную от первой производной: = =
Вынесем в числителе х -3 за скобки и выполним сокращение:
Приведем в числителе подобные слагаемые: .
Найдем критические точки второго рода: точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует.
0, если =0. Данная дробь не может равняться нулю, следовательно, точек, в которых вторая производная функции равна нулю, нет.
Не существует, если знаменатель (х -3) 3 равен 0, т.е. не существует при х =3. :Ох , Оу , начало отсчета, единицы измерения по каждой оси.
Прежде чем строить график функции, нужно:
· провести асимптоты пунктирными линиями;
· отметить точки пересечения с осями координат;
|
· пользуясь полученными данными о промежутках возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, построить график функции. Ветви графика должны «стремиться» к асимптотам, но их не пересекать.
· проверить, соответствует ли график функции проведенному исследованию: если функция четная или нечетная, то соблюдена ли симметрия; соответствуют ли теоретически найденным промежутки возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
11. Для более точного построения можно выбрать несколько контрольных точек. Например, найдем значения функции в точках -2 и 7:
Корректируем график с учетом контрольных точек.
Контрольные вопросы:
ГЛАВА 3. 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
